Question

11．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），點(diǎn)P在曲線C₁上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)Q滿足$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$．
（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）以O(shè)為極點(diǎn)，若點(diǎn)M為曲線ρ=-2sinθ上一點(diǎn)，求|MQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）將C₁化成普通方程，設(shè)出Q（x，y）表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入C₁方程整理即可；
（2）將曲線ρ=-2sinθ化成普通方程，判斷兩曲線的位置關(guān)系得出最小值．

解答 解：（1）曲線C₁的普通方程為（x-1）²+（y-2）²=1，
設(shè)Q（x，y），則$\overrightarrow{OQ}$=（x，y），$\overrightarrow{OA}$=（1，0），∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OA}$=（x-1，y），∴P（x-1，y）．
∵P點(diǎn)在曲線C₁上運(yùn)動(dòng)，∴（x-2）²+（y-2）²=1．
∴點(diǎn)Q的軌跡方程是（x-2）²+（y-2）²=1．
（2）∵ρ=-2sinθ，∴ρ²=-2ρsinθ，∴x²+y²=-2y．即x²+（y+1）²=1．
∴曲線（x-2）²+（y-2）²=1的圓心到曲線x²+（y+1）²=1的圓心的距離d=$\sqrt{{2}^{2}+（2+1）^{2}}$=$\sqrt{13}$＞2．
∴兩圓外離，∴|MQ|的最小值為$\sqrt{13}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，兩圓位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題．