Question

9．已知：
（1）$y=x+\frac{4}{x}$
（2）$y=sinx+\frac{4}{sinx}（0＜x＜π）$
（3）$y=\frac{{{x^2}+13}}{{\sqrt{{x^2}+9}}}$
（4）y=4•2^x+2^-x
（5）y=log₃x+4log_x3（0＜x＜1）
則其中最小值是4的函數(shù)有（4） （填入正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 利用基本不等式或者利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，判斷選項(xiàng)即可．

解答 解：（1）因?yàn)?y=x+\frac{4}{x}$中x可以為負(fù)數(shù)，所以函數(shù)沒(méi)有最小值，所以（1）不滿足題意．
（2）$y=sinx+\frac{4}{sinx}（0＜x＜π）$，所以y=sinx+$\frac{1}{sinx}$+$\frac{3}{sinx}$≥2+3=5當(dāng)且僅當(dāng)sinx=1時(shí)，函數(shù)取得最小值：5，（2）不滿足題意．
（3）$y=\frac{{{x^2}+13}}{{\sqrt{{x^2}+9}}}$=$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\frac{4}{\sqrt{{x}^{2}+9}}$＞2$\sqrt{\sqrt{{x}^{2}+9}•\frac{4}{\sqrt{{x}^{2}+9}}}$=4．不滿足題意，所以（3）不正確．
（4）y=4•2^x+2^-x=4•2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2$\sqrt{4•{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)$4•{2}^{x}=\frac{1}{{2}^{x}}$，即x=-2時(shí)取等號(hào)．所以（4）滿足題意．
（5）y=log₃x+4log_x3（0＜x＜1），log₃x＜0，4log_x3＜0，顯然不滿足題意．
故選：（4）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及最值的判斷，考查命題的真假的判斷，注意基本不等式成立的條件，是中檔題．