Question

18．在半徑為r的圓O上的弓形中，底AB=$\sqrt{2}$r，C為劣弧$\widehat{AB}$上的一點，且CD⊥AB，D為垂足，點C圓O上運動，問點C在什么位置時，△ADC的面積有最大值？

Answer 1

分析 先表示出△ACD的面積，再用基本不等式求出最大面積．

解答 解：∵半徑為r的圓O上的弓形中，底AB=$\sqrt{2}$r，
∴∠AOB=90°．
連接OC，設∠CAB=α，則∠BOC=2α，∠AOC=90°-2α，
∴AC=2rsin（45°-α），
∴AD=ACcosα，
∴△ACD的面積S=$\frac{1}{2}×AC×AD×sinα$=r²sin²（45°-α）sin2α
=$\frac{{r}^{2}}{2}×（1-sin2α）sin2α$≤$\frac{{r}^{2}}{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{{r}^{2}}{8}$．
當且僅當1-sin2α=sin2α，即sin2α=$\frac{1}{2}$，
∴α=$\frac{π}{12}$時，△ACD的面積最大，最大面積為$\frac{{r}^{2}}{8}$．

點評 本題考查三角形面積的計算，考查三角函數知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．