Question

6．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且${S_n}={3^n}+k$
（Ⅰ）求k的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）在a_n與a_n+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成公差為d_n的等差數(shù)列，求數(shù)列$\{\frac{1}{d_n}\}$的前n項和T_n，并求使$\frac{8}{5}{T_n}+\frac{n}{{5×{3^{n-1}}}}≤\frac{40}{27}$成立的正整數(shù)n的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式可得T_n，再利用不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵${S_n}={3^n}+k$，
當(dāng)n≥2時，${S_{n-1}}={3^{n-1}}+k$，
兩式相減得：${a_n}=2×{3^{n-1}}$，
當(dāng)n=1時，即S₁=3+k，
∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，∴${S_1}=3+k={a_1}=2×{3^0}$，
解得：k=-1
∴通項公式${a_n}=2•{3^{n-1}}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${a_{n+1}}=2•{3^n}$，${a_n}=2•{3^{n-1}}$，
∵a_n+1=a_n+（n+1）d_n，∴${d_n}=\frac{{4×{3^{n-1}}}}{n+1}$，
∴$\frac{1}{d_n}=\frac{n+1}{{4×{3^{n-1}}}}$．
令${T_n}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}+\frac{1}{d_3}+$…$+\frac{1}{d_n}$，
則${T_n}=\frac{2}{{4×{3^0}}}+\frac{3}{{4×{3^1}}}+\frac{4}{{4×{3^2}}}+$…$+\frac{n+1}{{4×{3^{n-1}}}}$  ①
$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{2}{{4×{3^1}}}+\frac{3}{{4×{3^2}}}+$…$+\frac{n}{{4×{3^{n-1}}}}+\frac{n+1}{{4×{3^n}}}$  ②
①…②得$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{2}{{4×{3^0}}}+\frac{1}{{4×{3^1}}}+\frac{1}{{4×{3^2}}}+$…$+\frac{1}{{4×{3^{n-1}}}}-\frac{n+1}{{4×{3^n}}}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{{3^{n-1}}}}）}}{{1-\frac{1}{3}}}-\frac{n+1}{{4×{3^n}}}=\frac{5}{8}-\frac{2n+5}{{8×{3^n}}}$，
∴${T_n}=\frac{15}{16}-\frac{2n+5}{{16×{3^{n-1}}}}$．
∴$\frac{8}{5}{T_n}+\frac{n}{{5×{3^{n-1}}}}≤\frac{40}{27}$，
即$\frac{3}{2}-\frac{1}{{2×{3^{n-1}}}}≤\frac{40}{27}$，3ⁿ≤81，
得n≤4，
∴使$\frac{8}{5}{T_n}+\frac{n}{{5×{3^{n-1}}}}≤\frac{40}{27}$成立的正整數(shù)n的最大值為4．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．