Question

6．已知點(diǎn)A（-$\sqrt{3}$，2），B（$\sqrt{3}$，0），且AB為圓C的直徑．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P為圓C上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作傾斜角為120°的直線l，且l與直線x=$\sqrt{3}$相交于點(diǎn)M，求|PM|的最大值及此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），圓的半徑為2，即可求圓C的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=-$\sqrt{3}$x+b，代入x²+（y-1）²=4，可得4x²-2$\sqrt{3}$（b-1）x+b²-2b-3=0，求出較小根的最小值，即可求|PM|的最大值及此時直線l的方程．

解答 解：（1）AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），圓的半徑為2，
∴圓C的方程為x²+（y-1）²=4；
（2）設(shè)直線l的方程為y=-$\sqrt{3}$x+b，
代入x²+（y-1）²=4，可得4x²-2$\sqrt{3}$（b-1）x+b²-2b-3=0，
較小根為$\frac{\sqrt{3}（b-1）-\sqrt{-（b-1）^{2}+64}}{4}$，b=1時，取得最小值-2，
∴|PM|的最大值為2（$\sqrt{3}$+2），此時直線l的方程為y=-$\sqrt{3}$x+1．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．