Question

14．拋物線y=2x²的一組斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程是x=$\frac{1}{2}$（y＞$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 設出直線方程和兩個交點坐標，與拋物線方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0求得b的范圍，同時根據(jù)韋達定理分別求得x₁+x₂的值，利用直線方程求得y₁+y₂的表達式，設出AB的中點的坐標，可求得x=$\frac{1}{2}$，同時根據(jù)b的范圍可確定y的范圍，最后可求得所求的軌跡方程．

解答 解：設直線方程為y=2x+b
設兩個交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）聯(lián)立拋物線y=2x²與直線方程y=2x+b，
消去y，可得2x²-2x-b=0，△=4+8b＞0，∴b＞-$\frac{1}{2}$ ①
另根據(jù)韋達定理有：x₁+x₂=1 ②
而A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在直線y=2x+b上，可分別代入得到：y₁=2x₁+b y₂=2x₂+b
∴y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b將②代入上式，可得：y₁+y₂=2b+2 ③
設AB的中點M（x，y），可根據(jù)中點坐標公式可得：x=$\frac{1}{2}$，y=b+1
由條件①可得：y=b+1＞$\frac{1}{2}$
∴M點（即動弦AB中點）的軌跡方程是x=$\frac{1}{2}$（y＞$\frac{1}{2}$）
故答案為：x=$\frac{1}{2}$（y＞$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查了直線與拋物線的位置關系，求軌跡方程問題等．一般是把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理求得問題的解決的途徑．