Question

7．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊是a、b、c，$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$且$\overrightarrow{GA}$•$\overrightarrow{GB}$=0，若（tanA+tanB）•tanC=mtanAtanB，則m的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 利用已知條件求出G是三角形的重心，通過余弦定理可得三角形三邊關(guān)系，然后再由余弦定理可得轉(zhuǎn)化，可得2sinAsinBcosC=4sin²C．再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡要求的式子，可得結(jié)果．

解答 解：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊是a、b、c，$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
可得G是三角形的重心，且$\overrightarrow{GA}$•$\overrightarrow{GB}$=0，
如圖：則，AD=DB=DG=$\frac{1}{2}$CG，AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos∠ADC，
BC²=BD²+CD²-2BD•CDcos（π-∠ADC），
可得AC²+BC²=AD²+CD²+BD²+CD²=20AD²．
即a²+b²=5c²，可得sin²A+sin²B=5sin²C．
由余弦定理可得 cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{4{sin}^{2}C}{2sinAsinB}$，
可得2sinAsinBcosC=4sin²C．
則$\frac{tanA•tanB}{tanC（tanA+tanB）}$=$\frac{sinAsinBcosC}{{sin}^{2}C}$=2；
（tanA+tanB）•tanC=$\frac{1}{2}$tanAtanB，
∴m=$\frac{1}{2}$
故選A．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于難度比較大的題目．