Question

18．在焦點(diǎn)在x軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是[3b²，4b²]，則橢圓離心率的范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{{\sqrt{5}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$
• B． $[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$
• C． $[{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$
• D． $[{\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．不妨設(shè)矩形ABCD的對角線AC所在直線方程為：y=kx，（假設(shè)k＞0）．與橢圓方程聯(lián)立可得矩形ABCD的面積S=4|xy|=$\frac{4{a}^{2}^{2}k}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，變形利用基本不等式的性質(zhì)及其已知即可得出．

解答 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
不妨設(shè)矩形ABCD的對角線AC所在直線方程為：y=kx，（假設(shè)k＞0）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，y²=$\frac{{a}^{2}^{2}{k}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
∴矩形ABCD的面積S=4|xy|=$\frac{4{a}^{2}^{2}k}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{4{a}^{2}^{2}}{\frac{^{2}}{k}+{a}^{2}k}$≤$\frac{4{a}^{2}^{2}}{2\sqrt{\frac{^{2}}{k}•{a}^{2}k}}$=2ab，當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{a}$時取等號．
∴3b²≤2ab≤4b²，
解得$\frac{1}{2}≤\frac{a}≤\frac{2}{3}$．
∴$e=\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$∈$[\frac{\sqrt{5}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{2}]$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、矩形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)、不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．