Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x|•（a-x），a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，畫出函數(shù)f（x）的圖象，并寫出其單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞0，當(dāng)實(shí)數(shù)c分別取何值時(shí)集合{x|f（x）=c}內(nèi)的元素個(gè)數(shù)恰有一個(gè)、恰有兩個(gè)、恰有三個(gè)？

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡f（x）=|x|•（4-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x，x＜0}\\{-{x}^{2}+4x，x≥0}\end{array}\right.$，從而結(jié)合二次函數(shù)的圖象作圖，從而寫出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）化簡f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x（a-x），x＜0}\\{x（a-x），x≥0}\end{array}\right.$，從而確定函數(shù)的單調(diào)性及極值，從而討論元素的個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=|x|•（4-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x，x＜0}\\{-{x}^{2}+4x，x≥0}\end{array}\right.$，
作f（x）的圖象如圖，
其單調(diào)遞增區(qū)間為[0，2]；
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x（a-x），x＜0}\\{x（a-x），x≥0}\end{array}\right.$，
結(jié)合二次函數(shù)可知，
f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)，在（0，$\frac{a}{2}$）上是增函數(shù)，
在[$\frac{a}{2}$，+∞）上是減函數(shù)；
而f（0）=0，f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
故當(dāng)c∈（-∞，0）∪（$\frac{{a}^{2}}{4}$，+∞）時(shí)，集合{x|f（x）=c}內(nèi)的元素個(gè)數(shù)恰有一個(gè)，
當(dāng)c=0或$\frac{{a}^{2}}{4}$時(shí)，集合{x|f（x）=c}內(nèi)的元素個(gè)數(shù)恰有二個(gè)，
當(dāng)c∈（0，$\frac{{a}^{2}}{4}$）時(shí)，集合{x|f（x）=c}內(nèi)的元素個(gè)數(shù)恰有三個(gè)．

點(diǎn)評 本題考查了學(xué)生的作圖能力及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了方程的根與圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用．