Question

17．7個人排成一排，按下列要求各有多少種排法？
（1）其中甲不站排頭，乙不站排尾；
（2）其中甲、乙、丙3人兩兩不相鄰；
（3）其中甲、乙中間有且只有1人；
（4）其中甲、乙、丙按從左到右的順序排列．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分2種情況討論：①、甲站在排尾，剩余6人進行全排列，安排在其他6個位置，②、甲不站在排尾，依次分析甲、乙以及剩余5人的排法數(shù)目，結(jié)合乘法原理可得其排法數(shù)目，最后由分類計數(shù)原理計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，分2步進行分析，①、將除甲、乙、丙之外的4人進行全排列，排好后，有5個空位，②、在5個空位種任選3個，安排甲、乙、丙3人，分別求出每一步的排法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（3）根據(jù)題意，分2步進行分析：①、先將甲、乙全排列，②、在剩余的5個人中任選1個，安排在甲乙之間，③、將三人看成一個整體，與其他四人進行全排列，分別求出每一步的排法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（4）根據(jù)題意，分2步進行分析：①、在7個位置中任取4個，安排除甲、乙、丙之外的4人，②、將甲、乙、丙按從左到右的順序安排在剩余的3個空位中，分別求出每一步的排法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分2種情況討論：
①、甲站在排尾，剩余6人進行全排列，安排在其他6個位置，有$A_6^6$種排法，
②、甲不站在排尾，則甲有5個位置可選，有$A_5^1$種排法，
乙不能在排尾，也有5個位置可選，有$A_5^1$種排法，
剩余5人進行全排列，安排在其他5個位置，有$A_5^5$種排法，
則此時有$A_5^1$$A_5^1$$A_5^5$種排法；
故甲不站排頭，乙不站排尾的排法有$A_6^6$+$A_5^1$$A_5^1$$A_5^5$=3720種．
（2）根據(jù)題意，分2步進行分析，
①、將除甲、乙、丙之外的4人進行全排列，有$A_4^4$種情況，
排好后，有5個空位，
②、在5個空位種任選3個，安排甲、乙、丙3人，有A₅³種情況，
則共有$A_4^4$$A_5^3$=1440種排法．
（3）根據(jù)題意，分2步進行分析：
①、先將甲、乙全排列，有$A_2^2$種情況，
②、在剩余的5個人中任選1個，安排在甲乙之間，有$A_5^1$種選法，
③、將三人看成一個整體，與其他四人進行全排列，有$A_5^5$種排法，
則甲、乙中間有且只有1人共有$A_2^2$$A_5^1$$A_5^5$=1200種排法．
（4）根據(jù)題意，分2步進行分析：
①、在7個位置中任取4個，安排除甲、乙、丙之外的4人，有A₇⁴種排法，
②、將甲、乙、丙按從左到右的順序安排在剩余的3個空位中，只有1種排法，
則甲、乙、丙按從左到右的順序排列的排法有A₇⁴=840種．

點評 本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意特殊問題的處理方法，如相鄰用捆綁法，不能相鄰用插空法，其次要注意分類、分步計數(shù)原理的熟練運用．