Question

6．已知袋子中裝有紅色球1個，黃色球1個，黑色球n個（小球大小形狀相同），從中隨機(jī)抽取1個小球，取到黑色小球的概率是$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）若紅色球標(biāo)號為0，黃色球標(biāo)號為1，黑色球標(biāo)號為2，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)抽取2個小球，記第一次取出的小球標(biāo)號為a，第二次取出的小球標(biāo)號為b．
（�。┯洝癮+b=2”為事件A，求事件A的概率；
（ⅱ）在區(qū)間[0，2]內(nèi)任取2個實數(shù)x，y，求事件“x²+y²＞（a-b）²恒成立”的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）從中隨機(jī)抽取1個小球，取到黑色小球的概率是$\frac{1}{3}$，列出方程．求解n的值；
（Ⅱ）（�。┣蟪鰪拇�子中現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)抽取2個小球的所有事件個數(shù)，滿足“a+b=2”為事件A的個數(shù)，然后求解概率；
（ⅱ）直接利用幾何概型，求解全部結(jié)果的區(qū)域面積與所求結(jié)果的區(qū)域面積，求解概率即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意$\frac{n}{n+2}=\frac{1}{3}$，得n=1
（Ⅱ）（�。┯洏�(biāo)號為0的小球為s，標(biāo)號為1的小球為t，標(biāo)號為2的小球為k，
則取出2個小球的可能情況有：（s，t），（s，k），（t，s），（t，k），（k，s），（k，t），（s，s），（t，t），（k，k），共9種，
其中滿足“a+b=2”的有3種：（s，k），（k，s）（t，t）．
所以所求概率為$P（A）=\frac{1}{3}$
（ⅱ）記“x²+y²＞（a-b）²恒成立”為事件B．
則事件B等價于“x²+y²＞4恒成立”，（x，y）可以看成平面中的點的坐標(biāo)，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為Ω={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，
而事件B構(gòu)成的區(qū)域為B={（x，y）|x²+y²＞4，（x，y）∈Ω}．
所以所求的概率為P（B）=$\frac{S_B}{S_Ω}$=1-$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查古典概型以及幾何概型的概率的求法，基本知識的考查，屬于中檔題．