Question

10．已知圓C：x²+y²-4x-14y+45=0及點(diǎn)Q（-2，3），
（Ⅰ）若點(diǎn)P（m，m+1）在圓C上，求PQ的斜率；
（Ⅱ）若點(diǎn)M是圓C上任意一點(diǎn)，求|MQ|的最大值、最小值；
（Ⅲ）若N（a，b）滿足關(guān)系：a²+b²-4a-14b+45=0，求出t=$\frac{b-3}{a+2}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)P（m，m+1）在圓C上，解得m=4，從而點(diǎn)P（4，5），由此能求出PQ的斜率．
（2）點(diǎn)M是圓C上任意一點(diǎn)，Q（-2，3）在圓外，所以|MQ|的最大值、最小值分別是|QC|+r，|QC|-r．
（3）點(diǎn)N在圓C：x²+y²-4x-14y+45=0上，t=$\frac{b-3}{a+2}$表示的是定點(diǎn)Q（-2，3）與圓上的動(dòng)點(diǎn)N連線l的斜率．由此能求出t=$\frac{b-3}{a+2}$的最大值．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-4x-14y+45=0可化為（x-2）²+（y-7）²=8．
點(diǎn)P（m，m+1）在圓C上，所以m²+（m+1）²-4m-14（m+1）+45=0，解得m=4，
故點(diǎn)P（4，5）．所以PQ的斜率是k_PQ=$\frac{5-3}{4+2}$=$\frac{1}{3}$；
（2）如圖，點(diǎn)M是圓C上任意一點(diǎn)，Q（-2，3）在圓外，
所以|MQ|的最大值、最小值分別是
|QC|+r，|QC|-r．Q（-2，3），C（2，7），
|QC|=$\sqrt{（2+2）^{2}+（7-3）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，r=2$\sqrt{2}$，
所以|MQ|_max=6$\sqrt{2}$，|MQ|_min=2$\sqrt{2}$．
（3）點(diǎn)N在圓C：x²+y²-4x-14y+45=0上，
t=$\frac{b-3}{a+2}$表示的是定點(diǎn)Q（-2，3）與圓上的動(dòng)點(diǎn)N連線l的斜率．
設(shè)l的方程為y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0．
當(dāng)直線和圓相切時(shí)，d=r，即$\frac{|2k-7+2k+3|}{\sqrt{k2+1}}$=2$\sqrt{2}$，解得k=2±$\sqrt{3}$．
所以t=$\frac{b-3}{a+2}$的最大值為2+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的斜率的求法，考查線段的最值的求法，考查代數(shù)式的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．