Question

10．如圖所示，多面體A₁B₁D₁DCBA是長方體A₁B₁C₁D-ABCD被平面B₁CD₁截去一個三棱錐后所得的幾何體，M為B₁D₁的中點，過A₁、D、M的平面交CD₁于點N．
（1）證明：MN∥B₁C；
（2）若AB=AD=2，AA₁=4，求二面角A-MN-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理進行判斷即可．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進行求解即可．

解答 （1）證明：在長方體中，B₁C∥A₁D，A₁D?面A₁DNM，
則B₁C∥面A₁DNM，
∵面B₁CD∩/面A₁DNM=MN，B₁C∥面A₁DNM，
∴MN∥B₁C
（2）由（1）得MN∥B₁C，M為B₁D₁的中點，
∴N為CD的中點，
建立以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AA₁，分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
∵AB=AD=2，AA₁=4，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），A₁（0，0，4），B₁（2，0，4），D₁（0，2，4），C（2，2，0），
則M（1，1，4），N（1，2，2），
則$\overrightarrow{MN}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{AM}$=（1，1，4），$\overrightarrow{BM}$=（-1，1，4），
設(shè)平面AMN的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MN}=y-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=x+y+4z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則y=2，x=-6，即$\overrightarrow{m}$=（-6，2，1），
設(shè)平面BMN的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}=y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=-x+y+4z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則y=2，x=6，即$\overrightarrow{n}$=（6，2，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-36+4+1}{\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}+1}•\sqrt{（-6）^{2}+{2}^{2}+1}}$=-$\frac{31}{41}$，
∵二面角A-MN-B銳二面角，
∴二面角A-MN-B的余弦值為-$\frac{31}{41}$．

點評 本題綜合考查空間中直線平行的判斷和空間角的計算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解決空間角常用的方法，考查的知識面較廣，難度中等．