Question

20．在直角坐標(biāo)平面上，已知長軸為6的橢圓C與拋物線D有共同的焦點(diǎn)F₁（-2，0）．
（1）求橢圓C與拋物線D的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知橢圓C與拋物線D相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF₁的面積S${\;}_{△AB{F}_{1}}$．

Answer 1

分析 （1）直接由已知求出橢圓的長半軸和半焦距，結(jié)合隱含條件求出b，則橢圓方程可求，再由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)直接求得拋物線方程；
（2）聯(lián)立橢圓方程和拋物線方程，求出A，B的坐標(biāo)，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：（1）由題意知，橢圓C的長半軸a=3，c=2，
故b²=a²-c²=5，
故橢圓C方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．
拋物線的焦點(diǎn)F₁（-2，0），
故拋物線方程：y²=-8x； 
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=-8x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，得5x²-72x-45=0，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}}\\{y=-\frac{2\sqrt{30}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}}\\{y=\frac{2\sqrt{30}}{5}}\end{array}\right.$．
即A（$-\frac{3}{5}，-\frac{2\sqrt{30}}{5}$），B（$-\frac{3}{5}，\frac{2\sqrt{30}}{5}$），
故S${\;}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}×\frac{4\sqrt{30}}{5}=\frac{6\sqrt{30}}{25}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓與拋物線方程的求法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，訓(xùn)練了二元二次方程組的解法，是中檔題．