Question

5．過(guò)拋物線(xiàn)y²=8x的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，若x₁+x₂=5，則|AB|=9．

Answer 1

分析 法1：容易求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），而由題意可看出直線(xiàn)存在斜率且不為0，可設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，寫(xiě)出方程為y=k（x-2），帶入拋物線(xiàn)方程整理便可得到k²x²-（4k²+8）+4k²=0，由韋達(dá)定理即可求出x₁+x₂和x₁x₂，根據(jù)x₁+x₂=5即可求出k²的值，從而根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求出|AB|的值．法2：根據(jù)拋物線(xiàn)方程知，p=4，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得答案．

解答 解：法1：拋物線(xiàn)y²=8x的焦點(diǎn)F（2，0），由題意知，過(guò)F的直線(xiàn)存在斜率且不為0，設(shè)斜率為k，則直線(xiàn)方程為：y=k（x-2）；
帶入拋物線(xiàn)方程并整理得：k²x²-（4k²+8）x+4k²=0；
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}=5$，x₁x₂=4；
∴k²=8；
∴$|AB|=\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{9}•\sqrt{25-16}=9$．
法2：根據(jù)拋物線(xiàn)方程知，p=4；
∴根據(jù)拋物線(xiàn)的定義得|AB|=x₁+x₂+p=5+4=9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，以及直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，注意要說(shuō)明k存在且不為0．