Question

5．已知m，n∈R，函數(shù)f（x）=ln（x+m）的圖象與函數(shù)g（x）=e^x-1+n的圖象在x=1處有公共的切線．
（1）求m，n的值；
（2）設b＞a＞0，求證：$\sqrt{ab}＜\frac{b-a}{f（b）-f（a）}＜\frac{a+b}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，利用函數(shù)f（x）=ln（x+m）的圖象與函數(shù)g（x）=e^x-1+n的圖象在x=1處有公共的切線，可得f′（1）=g′（1），求出m，求出函數(shù)f（x）=ln（x+m）的圖象在x=1處的切線方程為y=x-1，即可求出n的值；
（2）求出切線的斜率，即可證明結論．

解答 （1）解：∵g（x）=e^x-1+n，
∴g′（x）=e^x-1，
∵f（x）=ln（x+m），
∴f′（x）=$\frac{1}{x+m}$，
∵函數(shù)f（x）=ln（x+m）的圖象與函數(shù)g（x）=e^x-1+n的圖象在x=1處有公共的切線，
∴f′（1）=g′（1），
∴$\frac{1}{1+m}$=1，
∴m=0，
∴函數(shù)f（x）=ln（x+m）的圖象在x=1處的切線方程為y=x-1．
函數(shù)g（x）=e^x-1+n的圖象在x=1處的切線方程為y-1-n=x-1，即y=x+n，∴n=-1．
（2）證明：f（x）=lnx，∴f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∵b＞a＞0，
∴a＜$\frac{b-a}{f（b）-f（a）}$＜b．
∴$\sqrt{ab}$＜$\frac{b-a}{f（b）-f（a）}$＜$\frac{a+b}{2}$．

點評 本題考查利用導數(shù)求切線的方程，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．