Question

14．已知函數(shù)f（x）=x+sinx，不等式f（x）≥axcosx在[0，$\frac{π}{12}$]上恒成立，則a的取值范圍為（-∞，2]．

Answer 1

分析 （2）設(shè)g（x）=x+sinx-axcosx，x∈[0，$\frac{π}{12}$]，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，使得g（x）_min≥0即可．

解答 解：由題意設(shè)：g（x）=f（x）-axcosx=x+sinx-axcosx，x∈[0，$\frac{π}{12}$]，
1°當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）≥0恒成立； 
2°當(dāng)a＞0時(shí)，g′（x）=（1-a）cosx+axsinx+1，
①0＜a≤2時(shí)，g'（x）≥0，g（x）在[0，$\frac{π}{12}$]單調(diào)遞增，
所以g（x）≥g（0）=0恒成立；
②a＞2時(shí)，注意到當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{12}$]時(shí)，x≥sinx，
于是g（x）≤2x-axcosx=x（2-acosx），
必存在x∈[0，$\frac{π}{12}$]，使得當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，有g(shù)（x₀）＜0，不能使g（x）≥0恒成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤2，
故答案為：（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合、分類討論的思想進(jìn)行探究、分析與解決問題的能力．