Question

11．若f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-2ax+a+5}$在（-2，2）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是[2，3]．

Answer 1

分析 運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，設(shè)z=x²-2ax+a+5，則y=$\frac{1}{z}$，且函數(shù)的減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞），由f（x）在（-2，2）遞增，即有二次函數(shù)z在（-2，2）遞減，且恒大于0或恒小于0，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)z=x²-2ax+a+5，
則y=$\frac{1}{z}$，且函數(shù)的減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞），
由f（x）在（-2，2）遞增，
即有二次函數(shù)z在（-2，2）遞減，且恒大于0或恒小于0，
則有$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{4-4a+a+5≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{4+4a+a+5≤0}\end{array}\right.$，
解得2≤a≤3或a∈∅，
綜上可得，a的范圍是[2，3]．
故答案為：[2，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，注意運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．