Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{2x+1}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\frac{1}{2n+1}$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\frac{x}{2x+1}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．可得a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n}}$，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{x}{2x+1}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
∴a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，
兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n}}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項為3，公差為2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=3+2（n-1）=2n+1．
∴a_n=$\frac{1}{2n+1}$．
故答案為：a_n=$\frac{1}{2n+1}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．