【題目】如圖,四棱錐中,底面是以為中心的菱形, 底面, 上一點(diǎn),且.

1)證明: 平面;

2)若,求四棱錐的體積.

【答案】1)詳見解析;(2.

【解析】試題分析:(1)因?yàn)?/span>底面,所以有,因此欲證平面,只要證,而這一點(diǎn)可通過連結(jié),利用菱形的性質(zhì)及勾股定理解決.

2)欲求四棱錐的體積.,必須先求出,連結(jié),設(shè),在利用余弦定理求出,由三個直角三角形,依據(jù)勾股定理建立關(guān)于的方程即可.

解:(1)如圖,因為菱形, 為菱形中心,連結(jié),則,因,故

又因?yàn)?/span>,且,在

所以,故

底面,所以,從而與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直,所以平面

2)解:由(1)可知,

設(shè),由底面知, 為直角三角形,故

也是直角三角形,故

連結(jié),在,

由已知,故為直角三角形,則

,得, (舍去),即

此時

所以四棱錐的體積

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