Question

2．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，其右焦點關(guān)于直線y=x+1的對稱點的縱坐標是2，橢圓C的右頂點為D．（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點（A、B與橢圓的左、右頂點不重合），且滿足DA⊥DB，求直線l在x軸上的截距．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．可得a=2c，求得右焦點關(guān)于直線y=x+1對稱的點，可得c=1，進而得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=0，
可得k_AD•k_BD=-1，運用斜率公式，化簡整理，可得m，k的關(guān)系，即可得到直線在x軸上的截距．

解答 解：（1）由題意橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．即有a=2c，
∴b²=a²-c²=3c²，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，
又右焦點（c，0）關(guān)于直線y=x+1的對稱點的縱坐標是2，
中點為（0，1），即有對稱點的坐標為（-c，2），
即有$\frac{2}{-2c}$=-1，解得c=1．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
由△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，化為3+4k²-m²＞0．
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²
=k²•$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$+mk（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）+m²=$\frac{3（{m}^{2}-{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$．
∵DA⊥DB，可得$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=0，
∴k_AD•k_BD=-1，又橢圓的右頂點D（2，0），
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=-1，即y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴$\frac{3（{m}^{2}-{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$-2（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）+4=0，
化為7m²+16mk+4k²=0，
解得m₁=-2k，m₂=-$\frac{2k}{7}$，且滿足3+4k²-m²＞0．
當m=-2k時，l：y=k（x-2），直線過定點（2，0），與已知矛盾；
當m=-$\frac{2k}{7}$時，l：y=k（x-$\frac{2}{7}$），直線過定點（$\frac{2}{7}$，0）．
綜上可知，直線l在x軸上的截距為$\frac{2}{7}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與直線的斜率上的關(guān)系、直線過定點問題，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題..