Question

20．函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-alnx$，已知函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b．
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式和切線l方程；
（2）當(dāng)$x∈[\frac{1}{e}，e]$時(shí)（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由已知切線方程，可得a=2，求出切點(diǎn)，可得b=2，進(jìn)而得到切線方程；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，由題意可得k＞f（x）的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-alnx$，導(dǎo)數(shù)f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，f′（2）=2-$\frac{a}{2}$=1，解得a=2，
即f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，f（2）=2-2ln2，
由于點(diǎn)P（2，f（2））在y=x+b上，
可得b=2，直線l：y=x-2ln2；
（2）由（1）知f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，
f′（x）=x-$\frac{2}{x}$=$\frac{（x-\sqrt{2}）（x+\sqrt{2}）}{x}$，
當(dāng)f′（x）=0時(shí)，x=$\sqrt{2}$，則隨x的變化，f（x），f′（x）的變化如下：

x	$\frac{1}{e}$	（$\frac{1}{e}$，$\sqrt{2}$）	$\sqrt{2}$	（$\sqrt{2}$，e）	e
f′（x）		-	0	+
f（x）	2+$\frac{1}{2{e}^{2}}$	遞減	1-ln2	遞增	$\frac{{e}^{2}}{2}$-2

由表可以知道當(dāng)x∈[$\frac{1}{e}$，e]時(shí)，函數(shù)的最大值為2+$\frac{1}{2{e}^{2}}$，
則k＞2+$\frac{1}{2{e}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．