Question

2．已知a＞0，函數(shù)f（x）=e^axsinx（x∈[0，+∞））．記x_n為f（x）的從小到大的第n（n∈N^*）個(gè)極值點(diǎn)，則數(shù)列{f（x_n）}是（　�。�

• A． 等差數(shù)列，公差為e^ax
• B． 等差數(shù)列，公差為-e^ax
• C． 等比數(shù)列，公比為e^ax
• D． 等比數(shù)列，公比為-e^ax

Answer 1

分析 求出導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，求出導(dǎo)數(shù)為0的根，討論根附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，即可得到極值點(diǎn)，求得極值，運(yùn)用等比數(shù)列的定義即可得證；

解答 解：：f′（x）=e^ax（asinx+cosx）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$•e^axsin（x+φ），
tanφ=$\frac{1}{a}$，0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ-φ，m∈N^*，
對(duì)k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π-φ＜x＜（2k+2）π-φ，
則f′（x）＜0，因此在（（m-1）π-φ，mπ-φ）和（mπ-φ，（m+1）π-φ）上f′（x）符號(hào)總相反．
于是當(dāng)x=nπ-φ，n∈N^*，f（x）取得極值，所以x_n=nπ-φ，n∈N^*，
此時(shí)f（x_n）=e^{a（nπ-φ）}sin（nπ-φ）=（-1）ⁿ⁺¹e^{a（nπ-φ）}sinφ，
易知f（x_n）≠0，而$\frac{{f（x}_{n+1}）}{{f（x}_{n}）}$=$\frac{{（-1）}^{n+2}{e}^{a（（n+1）π-φ）}sinφ}{{（-1）}^{n+1}{e}^{a（nπ-φ）}sinφ}$=-e^aπ是常數(shù)，
故數(shù)列{f（x_n）}是首項(xiàng)為f（x₁）=e^a（π-φ）sinφ，公比為-e^aπ的等比數(shù)列；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值和單調(diào)區(qū)間，主要考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求值，同時(shí)考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查不等式恒成立問(wèn)題的證明，屬于難題．