Question

7．設(shè)S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a_n＞0，若S₆-2S₃=5，則S₉-S₆的最小值為20．

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比q＞0，q≠1．
∵S₆-2S₃=5，
∴$\frac{{a}_{1}（{q}^{6}-1）}{q-1}$-$\frac{2{a}_{1}（{q}^{3}-1）}{q-1}$=5．
∴$\frac{{a}_{1}（{q}^{3}-1）^{2}}{q-1}$=5．∴q＞1．
則S₉-S₆=$\frac{{a}_{1}（{q}^{9}-1）}{q-1}$-$\frac{{a}_{1}（{q}^{6}-1）}{q-1}$=$\frac{{a}_{1}（{q}^{3}-1）}{q-1}$•q⁶=$\frac{5{q}^{6}}{{q}^{3}-1}$=5$[（{q}^{3}-1）+\frac{1}{{q}^{3}-1}]$+10≥5×$2\sqrt{（{q}^{3}-1）•\frac{1}{{q}^{3}-1}}$+10=20，當(dāng)且僅當(dāng)q³=2，即q=$\root{3}{2}$時(shí)取等號．
∴S₉-S₆的最小值為20．
故答案為：20．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．