Question

9．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax+1-a（x≥0）}\\{f（x+2）（x＜0）}\end{array}\right.$．
（1）若a=-8，求當(dāng)-6≤x≤5時(shí)，|f（x）|的最大值；
（Ⅱ）對于任意實(shí)數(shù)x₁（x₁≤3），存在x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-8x+9，x≥0}\\{f（x+2），x＜0}\end{array}\right.$，從而轉(zhuǎn)化為當(dāng)0≤x≤5時(shí)，|f（x）|的最大值，從而求得；
（Ⅱ）分類討論，從而確定f（x）的性質(zhì)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=-8，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-8x+9，x≥0}\\{f（x+2），x＜0}\end{array}\right.$，
當(dāng)-6≤x＜0時(shí)，存在0≤t＜2，使f（x）=f（t），
從而只要求當(dāng)0≤x≤5時(shí)，|f（x）|的最大值，
而f（x）=x²-8x+9=（x-4）²-7，
-7≤f（x）≤9；
則|f（x）|≤9；
故f（x）|的最大值為9；
（Ⅱ）若x₁＜2時(shí)，取x₂=x₁-2，則f（x₂）=f（x₁-2）=f（x₁）；
符合題意；
只要考慮2≤x₁≤3，存在x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）；
（1）當(dāng)-$\frac{a}{2}$≤0，即a≥0時(shí)，
f（x）=x²+ax+1-a在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
故不存在x₂（x₂≠x₁），f（x₂）=f（x₁）；
（2）當(dāng)0＜-$\frac{a}{2}$＜2，即-4＜a＜0時(shí)，
則只要f（3）≤f（0），
即10+2a≤1-a，
從而解得，-4＜a≤-3；
（3）當(dāng)2≤-$\frac{a}{2}$≤3，即-6≤a≤-4時(shí)，
取x₁=-$\frac{a}{2}$時(shí)，不存在x₂（x₂≠x₁），使f（x₂）=f（x₁）；
（4）當(dāng)-$\frac{a}{2}$＞3，即a＜-6時(shí)，
取x₂=-a-x₁＞3，
必有f（x₂）=f（x₁），符合題意；
綜上所述，a＜-6或-4＜a≤-3．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．