Question

8．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-kx²+k（k∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）過(guò)P（0，1），求f（x）在點(diǎn)P處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）將P（0，1）代入f（x）求出k=1，從而求出f′（0）即切線的斜率，從而求出切線方程；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論k的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）將P（0，1）代入f（x）得：
f（0）=0-0+k=1，解得：k=1，
∴f（x）=ln（x+1）-x²+1，
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-2x，
f′（0）=1，
故過(guò)P（0，1），斜率是1的直線為：y-1=x，
即x-y+1=0；
（2）f（x）的定義域是（-1，+∞），
f′（x）=$\frac{-2{kx}^{2}-2kx+1}{x+1}$，
令g（x）=-2kx²-2kx+1，
①k=0時(shí)，g（x）=1＞0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在定義域（-1，+∞）遞增，
②k＞0時(shí)，-2k＜0，
△=4k²+8k＞0，
x₁=k-$\sqrt{{k}^{2}+2k}$＞-1，x₂=k+$\sqrt{{k}^{2}+2k}$，
∴f（x）在（-1，k-$\sqrt{{k}^{2}+2k}$）遞減，在（k-$\sqrt{{k}^{2}+2k}$，k+$\sqrt{{k}^{2}+2k}$）遞增，在（k+$\sqrt{{k}^{2}+2k}$，+∞）遞減；
②k＜0時(shí)，-2k＞0，
△=4k²+8k，
令△＞0，解得：k＜-2，
∴-2≤k＜0時(shí)，g（x）≥0，
f（x）在定義域（-1，+∞）遞增，
k＜-2時(shí)，
x₁=k-$\sqrt{{k}^{2}+2k}$＜-2，x₂=k+$\sqrt{{k}^{2}+2k}$＜-1，都舍去，
∴f（x）在（-1，+∞）遞增；
綜上，k≤0時(shí)，f（x）在定義域遞增，
k＞0時(shí)，f（x）在（-1，k-$\sqrt{{k}^{2}+2k}$）遞減，在（k-$\sqrt{{k}^{2}+2k}$，k+$\sqrt{{k}^{2}+2k}$）遞增，在（k+$\sqrt{{k}^{2}+2k}$，+∞）遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了求曲線的切線方程問(wèn)題，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．