Question

5．設(shè)O為△ABC的外心，且$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則△ABC的內(nèi)角C=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)$＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}＞$=θ，△ABC的外接圓的半徑為R．由于$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，變形$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$=-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$，作數(shù)量積運(yùn)算可得：${\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}$+2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=3${\overrightarrow{OC}}^{2}$，化為2+2cosθ=3，即可得出．

解答 解：設(shè)$＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}＞$=θ，△ABC的外接圓的半徑為R．
∵$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$=-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$，
∴${\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}$+2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=3${\overrightarrow{OC}}^{2}$，
化為2+2cosθ=3，
∴cosθ=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$．
∴C=$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角形外接圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．