5.設(shè)O為△ABC的外心,且$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$,則△ABC的內(nèi)角C=$\frac{π}{6}$.

分析 設(shè)$<\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}>$=θ,△ABC的外接圓的半徑為R.由于$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$,變形$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$=-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$,作數(shù)量積運算可得:${\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}$+2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=3${\overrightarrow{OC}}^{2}$,化為2+2cosθ=3,即可得出.

解答 解:設(shè)$<\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}>$=θ,△ABC的外接圓的半徑為R.
∵$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$,
∴$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$=-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$,
∴${\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}$+2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=3${\overrightarrow{OC}}^{2}$,
化為2+2cosθ=3,
∴cosθ=$\frac{1}{2}$,
∴θ=$\frac{π}{3}$.
∴C=$\frac{π}{6}$.
故答案為:$\frac{π}{6}$.

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、三角形外接圓的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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