Question

17．圓O的直徑為BC，點A是圓周上異于B，C的一點，且|AB|•|AC|=1，若點P是圓O所在平面內(nèi)的一點，且$\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，則$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$的最大值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 9
• C． 76
• D． 81

Answer 1

分析 AB⊥AC，可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0．由$\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，可得${\overrightarrow{AP}}^{2}$=82，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=$|\overrightarrow{AB}|$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=9$|\overrightarrow{AC}|$．代入$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}）•$$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}）$即可得出．

解答 解：∵AB⊥AC，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0．
∵$\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，
∴${\overrightarrow{AP}}^{2}$=$\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{|\overrightarrow{AB}{|}^{2}}$+$\frac{81{\overrightarrow{AC}}^{2}}{|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}$+2$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}•\frac{9\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=82，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$|\overrightarrow{AB}|$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9{\overrightarrow{AC}}^{2}}{|\overrightarrow{AC}|}$=9$|\overrightarrow{AC}|$．
則$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}）•$$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}）$
=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AP}}^{2}$
=82-（$|\overrightarrow{AB}|$+9$|\overrightarrow{AC}|$）
≤82-2$\sqrt{|\overrightarrow{AB}|•9|\overrightarrow{AC}|}$=76．
故選：C．

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、向量三角形法則、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．