Question

5．若四面體ABCD的棱長都相等，則AB與平面BCD所成角的余弦值等于（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 在四面體ABCD中，過A作AH⊥平面BCD于點H，則H為底面正三角形BCD的重心，連接BH，則∠ABH=α，就是AB在平面BCD所成角，解直角三角形ABH即可．

解答 解：如圖：在等邊三角形BCD中，BM為CD邊上的高，再在四面體ABCD中，過A作AH⊥平面BCD于點H，則H為底面正三角形BCD的重心，則∠ABH=α，就是AB在平面BCD所成角，
設(shè)棱長為a，由BM為CD邊上的高，
則BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，在Rt△ABH中，則BH=$\frac{2}{3}$BM
=a$•\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
∴cosα=$\frac{BH}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了直線與平面所成的角，關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，把空間角轉(zhuǎn)化為平面角求解．