Question

1．設(shè)函數(shù)$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）+{sin^2}x$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若$0＜α＜\frac{π}{2}＜β＜π$，$f（\frac{π}{4}-\frac{β}{2}）=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，$f（\frac{α+β}{2}）=\frac{1}{2}-\frac{{7\sqrt{3}}}{18}$，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）使用和角公式及二倍角公式將f（x）展開合并化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式解出；
（2）利用化簡結(jié)果及$f（\frac{π}{4}-\frac{β}{2}）=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，$f（\frac{α+β}{2}）=\frac{1}{2}-\frac{{7\sqrt{3}}}{18}$求出cosβ，sin（α+β），結(jié)合角的范圍解出sinβ，cos（α+β），使用差角的正弦公式計算sinα．

解答 解：（1）$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）+{sin^2}x$=$cos2xcos\frac{π}{3}-sin2xsin\frac{π}{3}+\frac{1-cos2x}{2}=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x$．
令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$x∈[\frac{π}{4}+kπ，\frac{3π}{4}+kπ]$，（k∈Z）．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[\frac{π}{4}+kπ，\frac{3π}{4}+kπ]（k∈Z）$．
（2）∵f（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（$\frac{π}{2}-β$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosβ=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}$，
f（$\frac{α+β}{2}$）=$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（α+β）=$\frac{1}{2}-\frac{7\sqrt{3}}{18}$，
∴$cosβ=-\frac{1}{3}$，$sin（α+β）=\frac{7}{9}$，
∵$0＜α＜\frac{π}{2}＜β＜π$，則∴$α+β∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）$，
∴$sinβ=\sqrt{1-{{cos}^2}β}=\sqrt{1-{{（-\frac{1}{3}）}^2}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$.$cos（α+β）=-\sqrt{1-{{sin}^2}（α+β）}=-\sqrt{1-{{（\frac{7}{9}）}^2}}=-\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$．
∴$sinα=sin（α+β-β）=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=\frac{7}{9}×（-\frac{1}{3}）-（-\frac{{4\sqrt{2}}}{9}）×\frac{{2\sqrt{2}}}{3}=\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的化簡求值，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．