Question

13．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA₁=2，D、E分別為棱AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AA₁上．
（1）證明：直線A₁C₁∥平面FDE；
（2）若二面角F-DE-A的大小為$\frac{π}{4}$，求AF：AA₁的值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出A₁C₁∥AC∥DE，由此能證明直線A₁C₁∥平面FDE．
（2）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AF：AA₁的值．

解答 解：（1）證明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA₁=2，
D、E分別為棱AB、BC的中點(diǎn)，
∴A₁C₁∥AC∥DE，
∵DE?平面FDE，A₁C₁?平面FDE，
∴直線A₁C₁∥平面FDE．
（2）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
D（1，1，0），E（0，1，0），設(shè)F（1，0，t），t∈（0，2），
則$\overrightarrow{DE}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，-1，t），
設(shè)平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=-y+tz=0}\end{array}\right.$，取x=t，得$\overrightarrow{n}$=（0，t，1），
平面DEA的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵二面角F-DE-A的大小為$\frac{π}{4}$，
∴cos$\frac{π}{4}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$，解得t=1，
∴AF：AA₁=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查兩線段比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．