Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1-2a_n=2ⁿ
（1）求證：{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是等差數(shù)列；
（2）若a₁=1，求a_n．

Answer 1

分析 （1）把已知等式兩邊同時(shí)除以2ⁿ，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}=1$，即數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是公差為1的等差數(shù)列；
（2）由（1）求出數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的通項(xiàng)公式，則a_n可求．

解答 （1）證明：由a_n+1-2a_n=2ⁿ，得
$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}=1$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是公差為1的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）知，數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是公差為1的等差數(shù)列，
又a₁=1，∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的首項(xiàng)為$\frac{{a}_{1}}{{2}^{0}}=1$，
則$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=1+1×（n-1）=n，
故${a}_{n}=n•{2}^{n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．