Question

4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知2sin2A+sin（2B+C）=sinC，且c=2，C=$\frac{π}{3}$．則△ABC的面積為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知及三角形內(nèi)角和定理，和差化積公式可得2cosAsinB=4sinAcosA，可得：cosA=0，或sinB=2sinA，
分類討論，分別求出三角形邊長，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：∵sinC=sin（B+A），sin（2B+C）=sin（π-A+B）=sin（A-B），
又∵2sin2A+sin（2B+C）=sinC，可得：sinC-sin（2B+C）=2sin2A，
∴sin（A+B）-sin（A-B）=2sin2A，
∴2cosAsinB=4sinAcosA，
∵A∈（0，π），可得：cosA=0，或sinB=2sinA，
∵c=2，C=$\frac{π}{3}$．
①當(dāng)cosA=0時，A=$\frac{π}{2}$，B=π-A-C=$\frac{π}{6}$，由b=$\frac{c}{tanC}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}×\frac{2}{\sqrt{3}}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
②當(dāng)sinB=2sinA，由正弦定理可得b=2a，由余弦定理可得：4=a²+b²-ab=a²+4a²-2a²=3a²，
解得：a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，和差化積公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)公式及定理是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．