Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，a₁=-1，a_n+1+2S_n=3n²+tn-1，其中t是常數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n+1+a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在t，使得{a_n}成等差數(shù)列？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）分n是否是1進(jìn)行討論，從而求其通項(xiàng)公式即可；
（2）由a_n+1+a_n=6n-3+t可得a_n+2-a_n=6；從而可知只需使a₂-a₁=3即可說(shuō)明是等差數(shù)列，從而解得．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₂+2a₁=3+t-1，
故a₂+a₁=3+t-1+1=3+t，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1+2S_n=3n²+tn-1，
a_n+2S_n-1=3（n-1）²+t（n-1）-1，
故a_n+1-a_n+2a_n=（3n²+tn-1）-（3（n-1）²+t（n-1）-1），
即a_n+1+a_n=（3n²+tn-1）-（3（n-1）²+t（n-1）-1）
=6n-3+t，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n=1時(shí)，也成立；
故a_n+1+a_n=6n-3+t；
（2）∵a_n+1+a_n=6n-3+t，∴a_n+2-a_n=6；
∴若使數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
只需使a₂-a₁=3即可；
∵a₂-a₁=a₂+a₁-2a₁=3+t+2=3，
∴t=-2；
即t=-2時(shí)，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力及分類討論的應(yīng)用．