Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記T_n=$\frac{{a}_{n}{•a}_{n+1}}{{2}^{n}}$，若對于一切的正整數(shù)n，總有T_n≤m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1計算可知a_n=3n，進而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知T_n=$\frac{9{n}^{2}+9n}{{2}^{n}}$，通過計算可知當(dāng)n=2或3時T_n取最大值為$\frac{27}{2}$，進而可得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
=（$\frac{3}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n）-[$\frac{3}{2}$（n-1）²+$\frac{3}{2}$（n+1）]
=3n，
又∵S₁=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$=3滿足上式，
∴a_n=3n；
（2）由（1）可知T_n=$\frac{{a}_{n}{•a}_{n+1}}{{2}^{n}}$=$\frac{9{n}^{2}+9n}{{2}^{n}}$，
∵T₁=$\frac{9+9}{2}$=9，T₂=$\frac{9×{2}^{2}+9×2}{{2}^{2}}$=$\frac{27}{2}$，T₃=$\frac{9×{3}^{2}+9×3}{{2}^{3}}$=$\frac{27}{2}$，T₄=$\frac{9×{4}^{2}+9×4}{{2}^{4}}$=$\frac{45}{4}$，
且當(dāng)n≥4時，T_n-T_n+1=$\frac{9{n}^{2}+9n}{{2}^{n}}$-$\frac{9（n+1）^{2}+9（n+1）}{{2}^{n+1}}$=$\frac{9[（n-1）^{2}-3]}{{2}^{n+1}}$＞0，即T_n≤T₄=$\frac{45}{4}$，
∴當(dāng)n=2或3時，T_n取最大值為$\frac{27}{2}$，
∴m≥$\frac{27}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．