Question

1．已知函數(shù)f（x）=lg（2016+x），g（x）=lg（2016-x）
（1）判斷函數(shù)f（x）-g（x）的奇偶性，并予以證明．
（2）求使f（x）-g（x）＜0成立x的集合．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)h（x）=f（x）-g（x），可以求出h（x）的定義域?yàn)椋?2016，2016），并容易得到h（-x）=-h（x），這樣便得出f（x）-g（x）為奇函數(shù)；
（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)f（x）-g（x）的定義域便可由f（x）-g（x）＜0得到$\left\{\begin{array}{l}{-2016＜x＜2016}\\{2016+x＜2016-x}\end{array}\right.$，解該不等式組便可求出x的集合．

解答 解：（1）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=lg（2016+x）-lg（2016-x），h（x）的定義域?yàn)椋?2016，2016）；
h（-x）=lg（2016-x）-lg（2016+x）=-h（x）；
∴f（x）-g（x）為奇函數(shù)；
（2）由f（x）-g（x）＜0得，f（x）＜g（x）；
即lg（2016+x）＜lg（2016-x）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2016+x＞0}\\{2016-x＞0}\\{2016+x＜2016-x}\end{array}\right.$；
解得-2016＜x＜0；
∴使f（x）-g（x）＜0成立x的集合為（-2016，0）．

點(diǎn)評 考查奇函數(shù)的定義及判斷方法和過程，對數(shù)的真數(shù)需大于0，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．