Question

17．如圖，函數(shù)y=2sin（$\frac{π}{2}$x+φ）  x∈R，其中0≤φ≤$\frac{π}{2}$的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）設(shè)P是圖象上的最高點(diǎn)，M、N是圖象與x軸的交點(diǎn)，求$\overrightarrow{PM}$和$\overrightarrow{PN}$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)圖象過點(diǎn)點(diǎn)（0，1），求得sinφ的值，可得φ的值．
（Ⅱ）由條件求得M、N、P的坐標(biāo)，再根據(jù)cos＜$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{PN}$＞=$\frac{\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}}{|\overrightarrow{PM}|•|\overrightarrow{PN}|}$，計(jì)算求得結(jié)果．

解答 解：（ I）因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)點(diǎn)（0，1），所以2sinφ=1，即sinφ=$\frac{1}{2}$．
因?yàn)?≤φ≤$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{6}$．
（ II）由函數(shù)及其圖象，得M（-$\frac{1}{3}$，0）、N （$\frac{5}{3}$，0）、P（$\frac{2}{3}$，2），
所以$\overrightarrow{PM}$=（-1，-2）、$\overrightarrow{PN}$=（1，-2），
從而cos＜$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{PN}$＞=$\frac{\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}}{|\overrightarrow{PM}|•|\overrightarrow{PN}|}$=$\frac{-1+4}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，用兩個(gè)向量的數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題．