Question

3．$a=\frac{1}{4}$是“直線（a+1）x+3ay+1=0與直線（a-1）x+（a+1）y-3=0相互垂直”的（　　）

• A． 充分而不必要條件
• B． 必要而不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 對a分類討論，利用兩條相互垂直的直線與斜率之間的關(guān)系即可得出．

解答 解：對于：直線（a+1）x+3ay+1=0與直線（a-1）x+（a+1）y-3=0，
當a=0時，分別化為：x+1=0，-x+y-3=0，此時兩條直線不垂直，舍去；
當a=-1時，分別化為：-3y+1=0，-2x-3=0，此時兩條直線相互垂直，因此a=-1滿足條件；
當a≠-1，0時，兩條直線的斜率分別為：$-\frac{a+1}{3a}$，$\frac{1-a}{a+1}$，由于兩條直線垂直，可得$-\frac{a+1}{3a}$×$\frac{1-a}{a+1}$=-1，解得a=$\frac{1}{4}$或-1（舍去）．
綜上可得：兩條直線相互垂直的充要條件為：a=$\frac{1}{4}$或-1．
∴$a=\frac{1}{4}$是“直線（a+1）x+3ay+1=0與直線（a-1）x+（a+1）y-3=0相互垂直”的充分而不必要條件．
故選：A．

點評 本題考查了兩條相互垂直的直線與斜率之間的關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．