Question

12．如圖，在直三棱柱（側(cè)棱垂直底面的棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由線面垂直得C₁C⊥AC，由直角性質(zhì)得AC⊥BC，從而得到AC⊥平面BCC₁，由此能證明AC⊥BC₁．
（Ⅱ）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）由$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，4，4），利用向量法能求出異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵在直三棱柱（側(cè)棱垂直底面的棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，
∵CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴C₁C⊥AC，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵C₁C∩BC=C，∴AC⊥平面BCC₁，
∵BC₁?平面BCC₁，∴AC⊥BC₁．
（Ⅱ）證明：以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得A（3，0，0），C₁（0，0，4），C（0，0，0），B（0，4，0），
D（$\frac{3}{2}$，2，0），B₁（0，4，4），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{3}{2}，2，0$），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，4，4），
設(shè)平面CDB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=4y+4z=0}\end{array}\right.$，取x=4，得$\overrightarrow{n}$=（4，-3，3），
∵$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}$=-12+0+12=0，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）解：∵$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，4，4），
設(shè)異面直線AC₁與B₁C所成角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{C{B}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{C{B}_{1}}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{C{B}_{1}}|}$|=|$\frac{16}{5×4\sqrt{2}}$|=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$，
∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．