Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³-ax-1．
（1）是否存在a．使f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-1，1）？
（2）若f（x）在R上是增函數(shù)．求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過求導(dǎo)且令f′（x）＜0即x²＜$\frac{1}{3}$a，分a≤0、a＞0兩種情況討論即可；
（2）通過函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，可知f′（x）≥0在R上恒成立，進而計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=x³-ax-1，
∴f′（x）=3x²-a，
令f′（x）＜0，即x²＜$\frac{1}{3}$a，
①當a≤0時，顯然不等式x²＜$\frac{1}{3}$a無解；
②當a＞0時，解不等式x²＜$\frac{1}{3}$a，得-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）上單調(diào)遞減，
由題可知$\frac{\sqrt{3a}}{3}$=1即a=3；
綜上所述，存在a=3，使f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-1，1）；
（2）∵函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0，即x²≥$\frac{1}{3}$a在R上恒成立，
∴a≤0．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．