Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-1，對(duì)任意x∈[3，+∞），f（$\frac{x}{m}$）-4m²f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（-∞，-\frac{\sqrt{2}}{2}]∪[\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 由f（x）=x²-1，結(jié)合f（$\frac{x}{m}$）-4m²f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，可得$\frac{1}{{m}^{2}}-4{m}^{2}$≤-$\frac{3}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}+1$在[3，+∞）上恒成立，求出-$\frac{3}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}+1$在[3，+∞）上的最小值，由$\frac{1}{{m}^{2}}-4{m}^{2}$小于等于該最小值求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意，對(duì)任意x∈[3，+∞），f（$\frac{x}{m}$）-4m²f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，
即$（\frac{x}{m}）^{2}$-1-4m²•（x²-1）≤（x-1）²-1+4m²-4恒成立，
∴$\frac{1}{{m}^{2}}-4{m}^{2}$≤-$\frac{3}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}+1$在[3，+∞）上恒成立．
∵-$\frac{3}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}+1$=-3$（\frac{1}{x}+\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}$，
∴當(dāng)x=3時(shí)，-$\frac{3}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}+1$取得最小值0，
∴$\frac{1}{{m}^{2}}-4{m}^{2}≤0$，
解得：m$≤-\frac{\sqrt{2}}{2}$或m$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$（-∞，-\frac{\sqrt{2}}{2}]∪[\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．