Question

11．已知曲線C：x²+y²-4ax+2ay+20a-20=0．
①求證：不論a取何實數(shù)，曲線C必過一定點A
②當a≠2時，求證：曲線C是一個圓，且圓心在一條直線上并寫出此直線方程．
③若a=1時，動點P到①中定點A及點B（-2，1）的距離之比為1：2，求點P的軌跡M，并指出曲線M與曲線C的公共點個數(shù)．

Answer 1

分析 ①曲線C即 x²+y²-20+a（-4x+2y+20）=0，由 $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}-20=0}\\{-4x+2y+20=0}\end{array}\right.$，求得曲線C一定經(jīng)過點A（4，-2）．
②證明：當a≠2時，曲線C即 （x-2a）²+（y+a）²=5（a-2）²，表示一個圓，且圓心在直線y=-$\frac{1}{2}$x上．
③設動點P（x，y），由題意可得 $\frac{\sqrt{{（x-4）}^{2}{+（y+2）}^{2}}}{\sqrt{{（x+2）}^{2}{+（y-1）}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，化簡可得（x-6）²+（y+3）²=20，故點P的軌跡是以F₁（6，-3）為圓心，半徑等于R₁=2$\sqrt{5}$的圓．再根據(jù)a=1時，圓心距大于半徑之差而小于半徑之和，可得點P的軌跡M與曲線C的公共點個數(shù)為2．

解答 解：①證明：曲線C：x²+y²-4ax+2ay+20a-20=0，即 x²+y²-20+a（-4x+2y+20）=0，
由 $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}-20=0}\\{-4x+2y+20=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-2}\end{array}\right.$，故曲線C一定經(jīng)過點A（4，-2）．
②證明：當a≠2時，曲線C即 （x-2a）²+（y+a）²=5（a-2）²，
表示以（2a，-a）為圓心、半徑等于$\sqrt{5}$|a-2|的圓，且圓心在直線y=-$\frac{1}{2}$x上．
③設動點P（x，y）到①中定點A及點B（-2，1）的距離之比為1：2，
即 $\frac{\sqrt{{（x-4）}^{2}{+（y+2）}^{2}}}{\sqrt{{（x+2）}^{2}{+（y-1）}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，化簡可得（x-6）²+（y+3）²=20，故點P的軌跡是以F₁（6，-3）為圓心，半徑等于R₁=2$\sqrt{5}$的圓．
a=1時，曲線C即 （x-2）²+（y-1）²=5，是以F₂（2，-1），半徑等于R₂=$\sqrt{5}$的圓．
再根據(jù)F₁F₂=2$\sqrt{5}$，大于半徑之差而小于半徑之和，故點P的軌跡M為圓F₁，
故曲線M與曲線C的公共點個數(shù)為2．

點評 本題主要考查圓的標準方程，軌跡方程的求法，圓和圓的位置關系，屬于中檔題．