Question

10．已知函數(shù)f（x）為定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2^-x+2-4
（1）求f（x）的解析式；
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象，并指出其單調(diào)區(qū)間和值域（不要求證明）
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=m 有兩解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可以求出x＜0時(shí)的解析式，然后得到整個(gè)定義域上的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)題意先畫出f（x）在[0，+∞）上的圖象，然后根據(jù)該函數(shù)為偶函數(shù)畫出另一半的圖象，即可指出其單調(diào)區(qū)間和值域；
（3）結(jié)合圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想可獲解．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2^-x+2-4
∴f（-x）=2^x+2-4；
由f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)知：f（-x）=f（x），
∴f（x）=2^x+2-4，（x∈（-∞，0））；…（3分）
∴函數(shù)f（x）的解析式是f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x+2}-4，x≥0}\\{{2}^{x+2}-4，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）由已知得函數(shù)f（x）的圖象如圖所示．

單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0），單調(diào)減區(qū)間是（0，+∞），值域是（-4，0]；
（3）由題意得：∵關(guān)于x的方程f（x）=m 有兩解，
∴-3＜m＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的偶函數(shù)的圖象性質(zhì)，以及利用圖象解決方程的根的個(gè)數(shù)的問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．