Question

14．已知圓M：（x-2）²+y²=1，Q是y軸上的動點(diǎn)，QA，QB分別切圓M于A，B兩點(diǎn)．
（1）如果|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求直線MQ的方程；
（2）求動弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)E為MQ與AB的交點(diǎn)，由|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，得|ME|=$\sqrt{|BM{|}^{2}-|\frac{AB}{2}{|}^{2}}$=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，由三角形相似求得MQ的長度，進(jìn)一步求出Q的坐標(biāo)，則直線MQ的方程可求；
（2）設(shè)P（x，y），Q（0，a）由點(diǎn)M，P，Q在一條直線上，得$\frac{a}{-2}=\frac{y-0}{x-2}$，即a=$\frac{-2y}{x-2}$，由△PMB∽△BMQ可得：|BM|²=|MP||MQ|，由此能求出動弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：（1）如圖，
設(shè)E為MQ與AB的交點(diǎn)，由|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
可得|ME|=$\sqrt{|BM{|}^{2}-|\frac{AB}{2}{|}^{2}}$=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
由△EMB∽△BQM可得：|MQ|=3，
在Rt△QOM中，|OQ|=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}=\sqrt{5}$，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，$\sqrt{5}$）或（0，-$\sqrt{5}$），
∴直線MQ的方程是$\frac{x}{2}+\frac{y}{\sqrt{5}}=1$或$\frac{x}{2}-\frac{y}{\sqrt{5}}=1$．
即$\sqrt{5}x$+2y-2$\sqrt{5}$=0或$\sqrt{5}$x-2y-2$\sqrt{5}$=0；
（2）設(shè)P（x，y），Q（0，a）由點(diǎn)M，P，Q在一條直線上，
得$\frac{a}{-2}=\frac{y-0}{x-2}$，
∴a=$\frac{-2y}{x-2}$，①
由△PMB∽△BMQ可得：|BM|²=|MP||MQ|，
即$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{{a}^{2}+4}$=1，②
由①②消去a得$（x-\frac{7}{4}）^{2}+{y}^{2}=\frac{1}{16}$（x＜2）．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，屬中檔題．