Question

3．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（-x）=0，且x≥0時，f（x）=2x-x²．
（1）求x＜0時，f（x）的解析式；
（2）是否存在這樣的正數(shù)a，b，當x∈[a，b]時，g（x）=f（x），且g（x）的值域為[$\frac{1}，\frac{1}{a}$]？若存在，求出a，b的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件便知f（-x）=-f（x），求x＜0時f（x）的解析式，可設x＜0，從而f（-x）=-2x-x²=-f（x），求出f（x）即得到所要求的解析式；
（2）根據(jù)定義域為[a，b]時，對應的值域為$[\frac{1}，\frac{1}{a}]$，從而方程$2x-{x}^{2}=\frac{1}{x}$的正解便為a，b，這樣解方程即可得出a，b．

解答 解：（1）根據(jù)條件知f（x）為奇函數(shù)；
設x＜0，-x＞0，則f（-x）=-2x-x²=-f（x）；
∴f（x）=x²+2x；
（2）g（x）=-x²+2x，x＞0；
根據(jù)題意，g（x）和函數(shù)y=$\frac{1}{x}$交點的橫坐標便是區(qū)間[a，b]的端點值；
∴解$-{x}^{2}+2x=\frac{1}{x}$得$x=1，\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，或$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去）；
∴$a=1，b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點評 考查奇函數(shù)的定義，已知x≥0時函數(shù)f（x）解析式，求x＞0時f（x）的解析式的方法，曲線的交點坐標和曲線形成方程組解的關系，通過因式分解解高次方程的方法．