Question

7．在△ABC中，AB=2BC，以A，B為焦點，經(jīng)過C的橢圓和雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則（　�。�

• A． $\frac{1}{{e}_{1}}$-$\frac{1}{{e}_{2}}$=1
• B． $\frac{1}{{e}_{1}}$-$\frac{1}{{e}_{2}}$=2
• C． $\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=1
• D． $\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=2

Answer 1

分析 以AB所在直線為x軸，其中點為原點，建立坐標(biāo)系，再通過橢圓及雙曲線的基本概念即可得到答案．

解答 解：以AB所在直線為x軸，其中點為原點，建立坐標(biāo)系，
則A（-1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），
所以AC=$\sqrt{（1+cosθ+1）^{2}+si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{5+4cosθ}$，
對于橢圓而言，2c=2，2a=AC+BC=$\sqrt{5+4cosθ}$+1，
所以$\frac{1}{{e}_{1}}$=$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{5+4cosθ}+1}{2}$；
對于雙曲線而言，2c=2，2a=AC-BC=$\sqrt{5+4cosθ}$-1，
所以$\frac{1}{{e}_{2}}$=$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{5+4cosθ}-1}{2}$；
故$\frac{1}{{e}_{1}}$-$\frac{1}{{e}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5+4cosθ}+1}{2}$-$\frac{\sqrt{5+4cosθ}-1}{2}$=1，
故選：A．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的概念，建立坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．