Question

17．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點為F，以F為圓心的圓與雙曲線的兩條漸近線分別相切于A、B兩點，且|AB|=$\sqrt{3}$b，則該雙曲線的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 求出A的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），根據(jù)以F為圓心的圓與雙曲線的兩條漸近線分別相切于A、B兩點，由射影定理可得（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$×（c-$\frac{\sqrt{3}}{2}a$），即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，A的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），
∵以F為圓心的圓與雙曲線的兩條漸近線分別相切于A、B兩點，
∴由射影定理可得（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$×（c-$\frac{\sqrt{3}}{2}a$），
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．