Question

16．如圖是一幅橢圓形彗星軌道圖，長4cm，高2$\sqrt{3}$cm，已知O為橢圓的中心，A₁，A₂是長軸兩端點(diǎn)，太陽位移橢圓的左焦點(diǎn)F處．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓的方程；
（2）求彗星運(yùn)行到太陽正上方時(shí)兩者在圖上的距離．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得：2a=4，2$\sqrt{3}$=2b，解出即可得出．
（2）c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，可得F（1，0）．把x=1代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程解出即可得出．

解答 解：（1）如圖所示，
可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵2a=4，2$\sqrt{3}$=2b，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，
∴F（1，0）．
把x=1代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得$\frac{1}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
解得y=±$\frac{3}{2}$．
∴彗星運(yùn)行到太陽正上方時(shí)兩者在圖上的距離=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．