Question

5．如圖，某時刻點P與坐標原點O重合，將邊長為2的等邊三角形PAB沿x軸正方向滾動，設頂點P（x，y）的軌跡方程是y=f（x），對任意的t∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x³+x²[-$\frac{f（4）}{x}$+f（4）+$\frac{m}{2}$]在區(qū)間（t，3）上不是單調(diào)函數(shù)，則m的取值范圍為（　�。�

• A． （-$\frac{37}{3}$，-9）
• B． （-∞，-$\frac{37}{3}$）
• C． （-$\frac{37}{3}$，-5）
• D． （-9，-5）

Answer 1

分析 確定f（4）=2，可得g（x），求導g′（x）=3x²+（m+4）x-2，從而轉化為零點的存在性問題．

解答 解：根據(jù)題意畫出頂點P（x，y）的軌跡，如圖所示．軌跡是一段一段的圓弧組成的圖形．

從圖形中可以看出，f（4）=2，
∴g（x）=x³+x²[-$\frac{f（4）}{x}$+f（4）+$\frac{m}{2}$]=g（x）=x³+（2+$\frac{m}{2}$）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2；
∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）=-2； 
∴g′（t）＜0，g′（3）＞0；
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g′（1）＜0}\\{g′（2）＜0}\\{g′（3）＞0}\end{array}\right.$．
∴-$\frac{37}{3}$＜m＜-9，
故選：A．

點評 本題考查軌跡問題，考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，確定函數(shù)的解析式是關鍵．