Question

1．已知函數(shù)f（x）=ln（2ax+1）+$\frac{{x}^{3}}{3}$-x²（a∈R）
（1）若y=f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，方程f（1-x）=$\frac{（1-x）^{3}}{3}$+$\frac{x}$+x-1有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的最大值．

Answer 1

分析 （1）y=f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)，等價(jià)于f′（x）=$\frac{2a}{2ax+1}$+x²-2x≥0且2ax+1＞0在[2，+∞）上恒成立，分類(lèi)討論，滿(mǎn)足條件的a值，綜合討論結(jié)果，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，方程f（1-x）=$\frac{（1-x）^{3}}{3}$+$\frac{x}$+x-1實(shí)根，等價(jià)于b=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，即求g（x）=xlnx+x²-x³的值域．構(gòu)造h（x）=lnx+x-x²（x＞0），證明h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)，
所以f′（x）=$\frac{2a}{2ax+1}$+x²-2x≥0且2ax+1＞0在[2，+∞）上恒成立，
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=x（x-2）≥0且1＞0在[2，+∞）上恒成立，
故a=0符合題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，由2ax+1＞0對(duì)x≥2恒成立，故只能a＞0，
此時(shí)f′（x）=$\frac{2a}{2ax+1}$+x²-2x≥0恒成立；
綜上可得：a∈[0，+∞）；
（2）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，方程f（1-x）=$\frac{（1-x）^{3}}{3}$+$\frac{x}$+x-1可化為：lnx-（1-x）²+（1-x）=$\frac{x}$，
則b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
令函數(shù)g（x）=xlnx+x²-x³=x（lnx+x-x²），
h（x）=lnx+x-x²，則h′（x）=$\frac{1}{x}$+1-2x=$\frac{（2x+1）（1-x）}{x}$
∴0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，從而h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞1時(shí)h′（x）＜0，從而h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴h（x）≤h（1）=0，
∵x＞0，
∴b=xh（x）≤0，
∴x=1時(shí)，b取得最大值0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．